Множества и операции над ними Лекция Базовый

Сегодня мы закладываем фундамент, на котором будет построено всё здание алгебры. Мы начнём с самого первичного и интуитивно понятного понятия — множества. Именно язык множеств позволит нам позже говорить об отображениях, алгебраических структурах и многом другом.

Что такое множество и как его задать

Представьте себе коллекцию, собрание, совокупность каких-либо объектов. В математике такую совокупность называют множеством, а сами объекты, из которых она состоит, — элементами этого множества. Идея проста: задать множество — значит дать чёткое правило, по которому о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или нет. Никакой двусмысленности.

Договоримся о системе обозначений. Множества мы будем называть заглавными буквами: \( A,M,X,\dots \), а их элементы — строчными: \(x,y,a,\dots\). Запись \(x \in X\) означает, что \(x\) является элементом множества \(X\). Если же \(x\) не принадлежит \(X\), мы пишем \(x \notin X\).

Как можно описать множество? Самый прямолинейный путь — просто перечислить все его элементы в фигурных скобках, например \( \{a, b, c, i\} \). Но если элементов слишком много или их количество бесконечно, перечисление не сработает. Тогда используют второй способ — задают характеристическое свойство. Это записывается так:

\( A = \{x\in M \mid P(x)\} \).

Читается это следующим образом: «\( A \) есть множество всех \( x\) из \( M\), для которых выполняется условие \( P(x)\)». Здесь \( M\) — некоторый уже известный, более широкий «резервуар», а \( P(x)\) — фильтр, отсеивающий нужные нам элементы.

В математике уже сложились общепринятые обозначения для нескольких важнейших числовых множеств, и мы будем активно ими пользоваться:

• \(\mathbb{N} = \{1,2,3,\dots\}\) — множество натуральных чисел (для нас счёт начинается с единицы);
• \(\mathbb{Z} = \{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\}\) — множество целых чисел;
• \(\mathbb{Q} = \{\frac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z},\; n \in \mathbb{N}\}\) — множество рациональных чисел, то есть всевозможных дробей;
• \(\mathbb{R}\) — множество действительных (вещественных) чисел, в которое входят и рациональные, и иррациональные числа.

На этом багаже мы сможем строить дальнейшие примеры.

Логические обозначения

Прежде чем погрузиться в мир множеств, договоримся о нескольких логических символах, которые будут постоянно встречаться в определениях и доказательствах. Это наш «словарик» — компактный, но важный.

• \(\neg\) — отрицание. \(\neg P\) означает «не \(P\)», «утверждение \(P\) ложно».
• \(\land\) — конъюнкция (логическое «и»). \(P \land Q\) истинно, когда истинны оба утверждения \(P\) и \(Q\).
• \(\lor\) — дизъюнкция (логическое «или» в неисключающем смысле). \(P \lor Q\) истинно, когда истинно хотя бы одно из утверждений \(P\), \(Q\).
• \(\Rightarrow\) — импликация («следует»). \(P \Rightarrow Q\) означает «если \(P\), то \(Q\)»; ложно только в случае, когда \(P\) истинно, а \(Q\) ложно.
• \(\Leftrightarrow\) — эквивалентность («тогда и только тогда»). \(P \Leftrightarrow Q\) истинно, если \(P\) и \(Q\) имеют одинаковые истинностные значения.
• \(\forall\) — квантор общности («для любого», «для всех»). Запись \(\forall x \in X \; P(x)\) означает, что свойство \(P(x)\) выполнено для каждого элемента \(x\) из множества \(X\).
• \(\exists\) — квантор существования («существует»). \(\exists x \in X \; P(x)\) означает, что в \(X\) найдётся хотя бы один элемент \(x\), для которого \(P(x)\) истинно.
• \(\exists!\) — квантор единственности («существует и единственный»). \(\exists! x \in X \; P(x)\) означает, что существует ровно один элемент с нужным свойством.

Эти символы позволяют записывать математические утверждения кратко и однозначно. Например, фраза «всякий элемент множества \(A\) принадлежит множеству \(B\)» запишется как \(\forall x \,(x \in A \Rightarrow x \in B)\). В доказательствах мы будем активно использовать эквивалентность \(\Leftrightarrow\), чтобы переходить от одного описания принадлежности к другому.

Подмножество и равенство: когда одно содержится в другом

Часто приходится сравнивать множества. Если каждый элемент одного множества является в то же время элементом другого, говорят, что первое — подмножество второго. Записывают это как \(A \subset M\) (читается: «\(A\) содержится в \(M\)»).

Вот простая геометрическая аналогия. Если нарисовать большую область, обозначающий \(M\), а внутри нее — область поменьше, обозначающий \(A\), то рисунок как раз иллюстрирует включение \(A \subset M\). Именно такие рисунки, называемые кругами Эйлера, помогают наглядно представлять отношения между множествами.

Что означает, что два множества \(A\) и \(M\) в точности совпадают? Это значит, что они состоят из одних и тех же элементов. Формально: \(A \subset M\) и одновременно \(M \subset A\). Такие множества называются равными, и пишут \(A = M\). Это не просто удобное соглашение — это формальное определение, которое в дальнейшем позволит нам доказывать тождества операций.

Два особенных множества: пустое и универсальное

Иногда полезно рассмотреть крайние случаи. Представьте себе множество, в котором нет ни одного элемента. Такое множество называют пустым и обозначают символом \(\varnothing\). Оно играет роль «нуля» в алгебре множеств.

С другой стороны, в рамках конкретной задачи все рассматриваемые множества часто лежат внутри некоторого «материнского» множества, содержащего все мыслимые в данном контексте элементы. Его называют универсальным множеством и обозначают \(\mathbb{U}\). Если мы работаем только с числами, то \(\mathbb{U}\) может быть, например, \(\mathbb{R}\). Это удобно: позже, когда мы захотим говорить о «всех элементах, которые не входят в \(A\)», нам нужно знать, откуда мы эти элементы берём. Универсальное множество как раз задаёт эту сцену.

Пять операций над множествами

Теперь, когда у нас есть отдельные множества, естественно захотеть их комбинировать, получать новые множества. Мы определим пять основных операций.

Пересечение двух множеств \(A\) и \(M\) — это множество, которое содержит все элементы, принадлежащие и \(A\), и \(M\) одновременно. Обозначение: \(A \cap M\). Формально: \[ A \cap M = \{x \mid x \in A \text{ и } x \in M\}. \] Если у двух множеств нет общих элементов, то есть \(A \cap M = \varnothing\), их называют непересекающимися.

Объединение собирает всё, что есть хотя бы в одном из множеств. Запись: \[ A \cup M = \{x \mid x \in A \text{ или } x \in M\}. \] Обратите внимание: союз «или» здесь понимается в неисключающем смысле — элемент попадёт в объединение, если он лежит в \(A\), в \(M\) или сразу в обоих.

Разность множеств \(A\) и \(M\) — это то, что остаётся, если из \(A\) убрать все элементы, принадлежащие \(M\). Обозначение: \(A \setminus M\). По определению: \[ A \setminus M = \{x \mid x \in A \text{ и } x \notin M\}. \] Это похоже на вычитание: мы берём «полное» множество и отсекаем от него кусок.

Симметрическая разность \(A \Delta M\) идёт чуть дальше: она содержит все элементы, которые принадлежат ровно одному из двух множеств — то есть общие элементы выбрасываются. Легко видеть, что \[ A \Delta M = (A \setminus M) \cup (M \setminus A). \] Эта операция напоминает «исключающее или»: элемент должен быть или только в \(A\), или только в \(M\).

Наконец, дополнение. Если мы заранее зафиксировали универсальное множество \(\mathbb{U}\), то дополнением множества \(A\) называется всё, что в \(\mathbb{U}\) не попало в \(A\): \[ \overline{A} = \mathbb{U} \setminus A = \{x \in \mathbb{U} \mid x \notin A\}. \] На рисунке это выглядит как всё «снаружи» круга \(A\), но внутри прямоугольника, изображающего \(\mathbb{U}\).

Этих пяти операций нам уже достаточно, чтобы вывести богатую алгебраическую теорию.

Свойства операций: алгебра множеств

Мы только что определили несколько операций. Теперь самое время посмотреть, каким законам они подчиняются. Оказывается, операции над множествами обладают свойствами, удивительно похожими на свойства привычных арифметических действий, но с интересными отличиями.

Все равенства ниже мы будем доказывать одним и тем же методом — методом «поэлементного рассуждения». Идея проста: чтобы убедиться, что два множества равны, мы берём произвольный элемент левого множества и показываем, что он принадлежит правому, и наоборот. Каждое такое рассуждение сводится к цепочке логических эквивалентностей.

Таким образом, мы получили целый арсенал алгебраических тождеств, с помощью которых можно преобразовывать выражения, упрощать описания множеств и доказывать новые равенства уже чисто алгебраически, не возвращаясь каждый раз к поэлементной логике.

Обобщение: индексированные объединения и пересечения

До сих пор мы говорили об операциях над двумя множествами. Но что если нужно объединить не два, а целую коллекцию множеств? Скажем, десяток, бесконечно много, или даже несчётное семейство?

Для этого вводят понятие индексированного семейства \(\{A_i\}_{i \in I}\), где \(I\) — некоторое множество индексов. Индексы могут быть числами, буквами или вообще какими угодно. Тогда объединение всех этих множеств записывается так: \[ \bigcup_{i \in I} A_i = \{x \mid \exists\, i \in I : x \in A_i\}. \] Элемент \(x\) попадает в такое объединение, если он лежит хотя бы в одном из \(A_i\). Аналогично, пересечение семейства: \[ \bigcap_{i \in I} A_i = \{x \mid \forall\, i \in I : x \in A_i\} \] содержит те и только те элементы, которые принадлежат сразу всем \(A_i\).

Если индексное множество конечно, например \(I = \{1,2,\dots,n\}\), то мы получаем привычную запись \(\bigcup_{i=1}^n A_i\). Но теперь в нашем распоряжении есть удобный способ говорить и о бесконечных объединениях, что понадобится позже в топологии, теории меры или в алгебраических конструкциях.

Подсчёт элементов: мощность конечного множества

До сих пор мы рассуждали о принадлежности элементов чисто качественно. Но часто нужно знать, сколько элементов содержит множество. Для конечных множеств это число называют мощностью и обозначают \(|A|\).

Как связаны мощности с операциями? Самый важный случай — объединение. Если просто сложить \(|A|\) и \(|B|\), мы пересчитаем все элементы, но элементы пересечения посчитаем дважды. Поэтому справедлива формула: \[ |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|. \] Если множества не пересекаются, то вычитаемое исчезает, и мощность объединения равна сумме мощностей.

Для трёх множеств формула включений-исключений чуть сложнее, но логика та же: \[ |A \cup B \cup C| = |A|+|B|+|C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|. \]

Пример. Пусть \(A = \{1,2,3,4\}\), \(B = \{3,4,5,6\}\). Тогда \(|A|=4\), \(|B|=4\), их пересечение \(A \cap B = \{3,4\}\) имеет мощность 2. Подставляем в формулу: \(|A \cup B| = 4+4-2 = 6\). Действительно, объединение — это \(\{1,2,3,4,5,6\}\), ровно шесть элементов.

Этот числовой взгляд на множества полезен не только в комбинаторике; позже, когда мы будем говорить о мощности бесконечных множеств, понятие равномощности и счётности, мы разовьём эти идеи гораздо глубже.

Итоги и взгляд вперёд

Сегодня мы познакомились с алфавитом математического языка: узнали, что такое множество, как его задать и как сравнивать множества; освоили пять основных операций и вывели целый ряд алгебраических законов, которым эти операции подчиняются; научились обращаться с семействами множеств и считать элементы в конечных случаях.

Но пока мы оставались в рамках одного «плоского» мира. В следующей лекции мы сделаем шаг в новое измерение — введём упорядоченную пару и построим декартово произведение множеств. Это подготовит почву для отношений и, в конечном счёте, для одного из центральных понятий всей математики — отображения.

← К теме «Множества, отображения, структуры»
← К предмету «Алгебра»
← Все материалы